Равносторонний (или правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника:
1) Все углы равностороннего треугольника равны и равны 60°
2) Медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника совпадают и равны.  
3) Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности:  
4) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности:  
5) Площадь равностороннего треугольника:  

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя — основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:
1) Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Иными словами — в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2) Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов, равны.
3) Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.

Серединный перпендикуляр или медиатрисса — прямая, перпендикулярная к данному отрезку и делящая его на две равные части.

Свойства серединного перпендикуляра:

1) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (или другого описываемого окружностью многоугольника) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. У остро-угольного треугольника эта точка лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

2) Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Свойства параллелограмма:

1) Противоположные стороны параллелограмма равны.
2) Противоположные углы параллелограмма равны.
3) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°
5) Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
6) Сумма всех углов равна 360°(сумма углов многоугольника = 180( n — 2), где n кол-во углов).
7) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, d1 и d2 — длины диагоналей; тогда d₁²+d₂² = 2*(a² + b²).

Признаки параллелограмма.

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1) Противоположные стороны попарно равны: AB = CD, AD = BC.
2) Противоположные углы попарно равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
3) Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: AO = OC, BO = OD.
4) Сумма соседних углов равна 180 градусов: ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°, ∠C + ∠D = 180°, ∠D + ∠A = 180°.
5) Противоположные стороны равны и параллельны: AB = CD, AB || CD.
6) Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
7) Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма: AC²+BD² = AB²+BC²+CD²+DA²

Сумма углов треугольника равна 180°.

Арифметическая прогрессия

Определение: Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида
a₁, a₁+d, a₁+2d, …, a₁+(n-1)*d

Арифметическая прогрессия бывает убывающей и возрастающей. Если d<0, то прогрессия убывающая, соответственно, если d>0, то возрастающая

Обозначения: a₁ — первый член прогрессии, a_n — n-ый член прогрессии, n — порядковый номер члена прогрессии, d — разность прогрессии и равен a_n-a_n-1

Основные формулы:

1. Нахождение любого(n-го) члена прогрессии: a_n=a₁+d(n-1)
2. Сумма первых членов прогрессии:   или же вторая формула-

Основные свойства:

1. Для любого элемента арифметической прогрессии будет верно следующее равенство: