Геометрия. №7ABB40

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.

РЕШЕНИЕ:

Проведем отрезок АО, данный отрезок равен 6 (по условию задачи).
Обозначим одну из точек касания окружности и касательной как Р.
Проведем отрезок ОР.
ОР является перпендикуляром к касательной АР (по свойству касательной).
Рассмотрим треугольник АОР. Данный треугольник является прямоугольным,т.к. ОР перпендикулярен АР.
АО является биссектрисой угла, образованного касательными (свойство касательных прямых).
Соответственно угол РАО равен половине данного угла, т.е. 30°.
sin∠PAO=sin30°=1/2 (табличное значение)
sin∠PAO=ОР/АО (по определению синуса).
Получаем:
1/2=ОР/АО
OP=AO/2=6/2=3
Это и есть радиус окружности.

Ответ: 3