Математика. №0246C9

При каких значениях m вершины парабол у=–х²+4mх–m и у=х²+2mх–2 расположены по одну сторону от оси х?

РЕШЕНИЕ:

Для начала рассмотрим квадратные уравнения, которые нам предложены.

Как мы знаем, квадратное уравнение имеет вид ax²+bx+c=0
В первом уравнении a=-1, т.е. меньше 0, значит ветви этой параболы смотрят вниз;
во-втором уравнении а=1, т.е. больше 0, значит ветви смотрят вверх.
В таком случаем нам необходимо рассмотреть 2 варианта:

1.  Первый график пересекает ось х, а второй не пересекает, как на рисунке 1.
2. Первый график не пересекает ось х, а второй пересекает, как на рисунке 2

Теперь рассмотрим каждый вариант отдельно:
1)Чтобы график первой функции пересекал ось х, уравнение должно иметь корни, следовательно, дискриминант этого уравнения должен быть больше нуля. А дискриминант второго, соответственно, меньше нуля.
D₁=(4m)²-4(-1)(-m)=16m²-4m>0
D₂=(2m)²-4*1(-2)=4m²+8<0
Решим эту систему неравенств:
16m²-4m>0

4m²+8<0

4m²-m>0

m²+2<0

Посмотрим внимательно на второе неравенство, m²+2 ни при каких m не может быть меньше нуля, следовательно система не имеет решений.
Т.е. первый вариант (как на рисунке 1) не подходит.

2)Чтобы график первой функции не пересекал ось х, уравнение не должно иметь корней, следовательно, дискриминант этого уравнения должен быть меньше нуля. А дискриминант второго, соответственно, больше нуля.
D₁=(4m)²-4(-1)(-m)=16m²-4m<0
D₂=(2m)²-4*1(-2)=4m²+8>0
Решим эту систему неравенств:
16m²-4m<0

4m²+8>0

4m²-m<0

m²+2>0

m(4m-1)<0

m²+2>0
Чтобы решить первое неравенство найдем корни уравнения m(4m-1)=0
m₁=0
m₂=1/4=0,25
Первое неравенство верно на диапазоне (0; 0,25)
Решим второе неравенство:
m²+2>0
m²>-2
Второе неравенство верно при любых m, т.к. квадрат любого числа всегда больше нуля.
Следовательно, решение данного неравенства диапазон (-∞;+∞)
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств и получим решение всей системы:
m⊂(0; 0,25)

 Ответ:  m⊂(0; 0,25)